Săgeata și tensiunea unei grinzi: profil I, U, țeavă, platbandă
Un profil IPE 200 din oțel S235, ca grindă simplu rezemată cu deschiderea de 4 m sub 10 kN/m, are o săgeată de 8,35 mm (L/479), iar tensiunea din încovoiere este 105 MPa, adică 45 % din limita de curgere. Calculatorul face același calcul pentru profilele IPE, HEA, HEB și UPN din tabelele site-ului, pentru țeava rectangulară și rotundă, platbandă și bară, din oțel, inox și aluminiu, pe trei scheme de rezemare.
Răspuns scurt
Săgeata unei grinzi simplu rezemate sub încărcare uniformă este δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I), sub o forță la mijloc — δ = P·L³ / (48·E·I). Tensiunea în fibrele extreme este σ = M / W. Săgeata depinde de rigiditatea E·I: aluminiul (E = 70 000 MPa) cu aceeași secțiune are o săgeată de aproape trei ori mai mare decât oțelul. Tensiunea depinde de modulul de rezistență W; materialul schimbă doar limita cu care o compari. Ambele cresc repede cu deschiderea: o grindă de două ori mai lungă, la aceeași încărcare pe metru, are o săgeată de 16 ori mai mare.
Rezultatul este o estimare elastică a săgeții și a tensiunii pentru o grindă simplă, din încărcări caracteristice. Nu înlocuiește proiectarea după EN 1993 (oțel) sau EN 1999 (aluminiu) și nu este o verificare a capacității portante. Rămân în afara calculului:
- flambajul lateral cu răsucire, flambajul general, stabilitatea locală a pereților;
- forfecarea, strivirea și inima sub forța concentrată;
- îmbinările, sudurile și slăbirea lor — la aluminiu zona influențată termic reduce rezistența până la jumătate;
- combinațiile de încărcări și coeficienții parțiali după EN 1990 (recomandat 1,35 pentru permanente și 1,5 pentru variabile);
- oboseala, vibrațiile, săgeata din încărcări de lungă durată și reazemele reale, care nu sunt nici articulație perfectă, nici încastrare completă.
Elementele portante — planșee, supante, platforme, copertine, grinzi pentru palan — le alege și le verifică un inginer proiectant.
Formulele pentru cele trei scheme
L — deschiderea (la consolă, lungimea ei), P — forța concentrată la mijlocul deschiderii (la consolă, la capăt), q — încărcarea uniformă pe metru, inclusiv greutatea proprie. Cu ambele încărcări deodată rezultatele se adună: în aceste scheme momentul maxim și săgeata maximă ale ambelor cazuri cad în același loc.
| Schema și încărcarea | Momentul maxim | Săgeata maximă | Reacțiunea |
|---|---|---|---|
| Simplu rezemată, forță P la mijloc | P·L / 4 | P·L³ / (48·E·I) | P / 2 |
| Simplu rezemată, încărcare q | q·L² / 8 | 5·q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
| Consolă, forță P la capăt | P·L | P·L³ / (3·E·I) | P |
| Consolă, încărcare q | q·L² / 2 | q·L⁴ / (8·E·I) | q·L |
| Încastrată la ambele capete, forță P la mijloc | P·L / 8 | P·L³ / (192·E·I) | P / 2 |
| Încastrată la ambele capete, încărcare q | q·L² / 12 | q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
Unități coerente: N, mm, MPa (N/mm²). Atunci I se introduce în mm⁴ (1 cm⁴ = 10 000 mm⁴), W în mm³, iar o încărcare de 1 kN/m înseamnă exact 1 N/mm.
Exemplu: IPE 200, deschidere 4 m, 10 kN/m
Aceleași date ca în calculator la deschidere: oțel S235, grindă simplu rezemată, cu greutate proprie.
- Din tabel: IPE 200 are Iy = 1943 cm⁴, Wel,y = 194,3 cm³ și masa 22,4 kg/m. Oțel: E = 210 000 MPa, fy = 235 MPa.
- Greutatea proprie:
g = 22,4 · 9,81 / 1000 = 0,220 kN/m. În totalq = 10 + 0,220 = 10,22 kN/m. - Momentul:
M = q·L² / 8 = 10,22 · 4² / 8 = 20,44 kN·m. - Tensiunea:
σ = M / W = 20,44·10⁶ / (194,3·10³) = 105 MPa, adică 45 % din 235 MPa. - Săgeata:
δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) = 5 · 10,22 · 4000⁴ / (384 · 210 000 · 1943·10⁴) = 8,35 mm. - Raportul:
L / δ = 4000 / 8,35 = 479. Limita L/250 înseamnă 16,0 mm, L/300 — 13,3 mm: grinda le respectă pe amândouă.
Profile IPE pe o deschidere de 5 m: săgeată și tensiune
Grindă simplu rezemată, încărcare 10 kN/m plus greutatea proprie, oțel S235. Calculat cu aceeași funcție ca în calculator.
| Profil | Masa, kg/m | Iy, cm⁴ | Săgeata, mm | L / δ | σ, MPa | L/250 | L/300 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| IPE 160 | 15,8 | 869 | 45,3 | L/110 | 292 | ✗ | ✗ |
| IPE 180 | 18,8 | 1316 | 30,0 | L/166 | 218 | ✗ | ✗ |
| IPE 200 | 22,4 | 1943 | 20,4 | L/245 | 164 | ✗ | ✗ |
| IPE 220 | 26,2 | 2771 | 14,3 | L/348 | 127 | ✓ | ✓ |
| IPE 240 | 30,7 | 3891 | 10,3 | L/487 | 99 | ✓ | ✓ |
| IPE 270 | 36,1 | 5789 | 6,9 | L/721 | 75 | ✓ | ✓ |
IPE 200 dă la această deschidere L/245 — puțin sub L/250, deși tensiunea de 164 MPa e departe de limită. La grinzile de câțiva metri decide de obicei săgeata, nu rezistența.
Materialele din calculator
Limita de curgere servește aici doar pentru comparația cu tensiunea elastică. Valorile de rezistență sunt aceleași ca în tabelul proprietăților oțelurilor S235–S355.
| Material | E, MPa | fy (Rp0,2, f0), MPa | Lângă sudură f0,haz, MPa | Sursa |
|---|---|---|---|---|
| S235 | 210 000 | 235 | — | EN 10025-2, grosime până la 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| S275 | 210 000 | 275 | — | EN 10025-2, grosime până la 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| S355 | 210 000 | 355 | — | EN 10025-2, grosime până la 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| 1.4301 (304) | 200 000 | 230 | — | EN 10088-2, tablă laminată la rece; E — EN 1993-1-4 |
| 1.4404 (316L) | 200 000 | 240 | — | EN 10088-2, tablă laminată la rece; E — EN 1993-1-4 |
| EN AW-6060 T6 | 70 000 | 140 | 60 | EN 1999-1-1, tab. 3.2b, profile extrudate (6082: perete până la 5 mm) |
| EN AW-6082 T6 | 70 000 | 250 | 125 | EN 1999-1-1, tab. 3.2b, profile extrudate (6082: perete până la 5 mm) |
Ce săgeată este admisă
EN 1993-1-1 (punctul 7.2) nu dă cifre: limitele săgeților le fixează anexa națională sau contractul cu beneficiarul. Ca valori de referință pentru grinzi se iau de obicei L/250 și L/300 — pentru o grindă de 5 m, 20 mm și 16,7 mm. Anexele diferă: cea daneză (DS/EN 1993-1-1 DK NA) dă l/400 pentru planșee și l/200 pentru acoperișuri, dintr-o singură acțiune variabilă, iar la consolă ia l egal cu dublul lungimii consolei. Sub pereți despărțitori, placări casante și poduri rulante anexele cer limite mai stricte. Calculatorul compară rezultatul cu L/250 sau L/300 ca valori tipice și nu face o verificare după normă.
La profilele din tabele, calculatorul indică cel mai ușor profil din aceeași serie care respectă limita aleasă și condiția σ ≤ fy. Este un punct de plecare pentru discuția cu proiectantul, nu alegerea elementului.
De unde sunt datele și ce urmează
Masele, dimensiunile și caracteristicile profilelor vin din aceleași tabele ca calculatorul de masă pentru profile I și calculatorul de masă pentru profile U. Țevile se calculează din dimensiuni, ca în calculatorul pentru țevi și profile și calculatorul pentru țeava rectangulară din aluminiu; pentru un profil de sistem cu canale introdu Iy și Wy din fișa producătorului.
Întrebări frecvente
Cum se calculează săgeata unei grinzi?
Pentru o grindă simplu rezemată sub încărcare uniformă, δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I). Un IPE 200 din oțel cu deschiderea de 4 m sub 10 kN/m (cu greutatea proprie, 10,22 kN/m) are o săgeată de 8,35 mm, adică L/479. Sub o forță concentrată la mijloc formula este δ = P·L³ / (48·E·I); consola și grinda încastrată au coeficienții lor (tabelul de formule de mai sus).
Ce profil IPE trebuie pentru o deschidere de 5 m?
La 10 kN/m, grindă simplu rezemată din S235: pentru L/250 cel mai ușor este IPE 220 (săgeată 14,3 mm, L/348, σ = 127 MPa), pentru L/300 — IPE 220 (L/348). IPE 200 dă L/245 și cade la săgeată. Pentru altă încărcare introdu-o în calculator; profilul unui element portant îl alege proiectantul, pentru că intervin flambajul lateral și rezemarea.
Cu cât se deformează mai mult un profil de aluminiu decât unul de oțel?
La aceeași secțiune, de aproape trei ori: E al aluminiului este 70 000 MPa, al oțelului 210 000 MPa. Țeava 60×40×3 în consolă de 1 m cu 0,2 kN la capăt: oțel 1,25 mm, aluminiu 6082-T6 3,58 mm, adică de 2,9 ori mai mult (nu exact de 3 ori, pentru că profilul ușor se încarcă mai puțin singur). În plus, lângă sudură 6082-T6 pierde jumătate din rezistență: 250 MPa → 125 MPa.
Înlocuiește calculatorul proiectarea structurii?
Nu. Calculează săgeata și tensiunea elastică pentru trei scheme simple. Nu verifică flambajul, forfecarea, îmbinările sau sudurile și nu aplică combinațiile de încărcări și coeficienții parțiali din EN 1990. Elementele portante se proiectează după EN 1993 (oțel) sau EN 1999 (aluminiu).
Care este săgeata admisă a unei grinzi?
O stabilește anexa națională la EN 1993-1-1 sau contractul cu beneficiarul; valorile tipice pentru grinzi sunt L/250 și L/300. O grindă de 5 m poate avea deci 20 mm sau 16,7 mm. Sub placări casante și pereți despărțitori limitele sunt mai stricte.
Actualizat: