Wie weit biegt sich der Träger durch, und wie hoch ist die Spannung?
Ein IPE 200 aus S235 als Einfeldträger mit 4 m Stützweite und 10 kN/m biegt sich um 8,35 mm durch (L/479); die Biegespannung liegt bei 105 MPa, also 45 % der Streckgrenze. Der Rechner macht dieselbe Rechnung für IPE-, HEA-, HEB- und UPN-Profile aus den Tabellen dieser Seite, für Rechteck- und Rundrohr, Flach- und Rundstahl, aus Stahl, Edelstahl und Aluminium und für drei Lagerungsarten.
Kurze Antwort
Ein Einfeldträger unter Streckenlast biegt sich um δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) durch, unter einer Einzellast in Feldmitte um δ = P·L³ / (48·E·I). Die Spannung in der Randfaser ist σ = M / W. Die Durchbiegung hängt an der Steifigkeit E·I: Aluminium (E = 70 000 MPa) biegt sich bei gleichem Querschnitt fast dreimal so weit durch wie Stahl. Die Spannung hängt am Widerstandsmoment W; der Werkstoff ändert nur die Grenze, mit der du sie vergleichst. Beides wächst schnell mit der Stützweite: Ein doppelt so langer Träger biegt sich bei gleicher Last je Meter 16-mal so weit durch.
Das Ergebnis ist eine elastische Abschätzung von Durchbiegung und Spannung für einen einfachen Träger unter charakteristischen Lasten. Es ersetzt keine Bemessung nach EN 1993 (Stahl) oder EN 1999 (Aluminium) und ist kein Tragfähigkeitsnachweis. Nicht erfasst sind:
- Biegedrillknicken, Knicken und örtliches Beulen der Wände;
- Querkraft, Lasteinleitung und Stegkrüppeln unter der Einzellast;
- Anschlüsse, Schweißnähte und deren Entfestigung — bei Aluminium kann die Wärmeeinflusszone die Festigkeit halbieren;
- Lastkombinationen und Teilsicherheitsbeiwerte nach EN 1990 (empfohlen 1,35 für ständige und 1,5 für veränderliche Einwirkungen);
- Ermüdung, Schwingungen, Kriechdurchbiegung und reale Lager, die weder ein ideales Gelenk noch eine starre Einspannung sind.
Tragende Bauteile — Decken, Bühnen, Podeste, Vordächer, Kranbahn- und Laufkatzenträger — bemisst und weist der Statiker nach.
Formeln für die drei Fälle
L — Stützweite (beim Kragarm die Auskragung), P — Einzellast in Feldmitte (beim Kragarm am Ende), q — Streckenlast je Meter einschließlich Eigengewicht. Bei beiden Lasten zugleich werden die Ergebnisse addiert: In diesen Fällen liegen das größte Moment und die größte Durchbiegung beider Lasten an derselben Stelle.
| System und Last | Größtes Moment | Größte Durchbiegung | Auflagerkraft |
|---|---|---|---|
| Einfeldträger, Einzellast P in Feldmitte | P·L / 4 | P·L³ / (48·E·I) | P / 2 |
| Einfeldträger, Streckenlast q | q·L² / 8 | 5·q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
| Kragarm, Einzellast P am Ende | P·L | P·L³ / (3·E·I) | P |
| Kragarm, Streckenlast q | q·L² / 2 | q·L⁴ / (8·E·I) | q·L |
| Beidseitig eingespannt, Einzellast P in Feldmitte | P·L / 8 | P·L³ / (192·E·I) | P / 2 |
| Beidseitig eingespannt, Streckenlast q | q·L² / 12 | q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
Einheiten einheitlich halten: N, mm, MPa (N/mm²). Dann geht I in mm⁴ ein (1 cm⁴ = 10 000 mm⁴), W in mm³, und 1 kN/m sind genau 1 N/mm.
Rechenbeispiel: IPE 200, 4 m Stützweite, 10 kN/m
Dieselben Werte, mit denen der Rechner startet: S235, Einfeldträger, Eigengewicht berücksichtigt.
- Aus der Tabelle: IPE 200 hat Iy = 1943 cm⁴, Wel,y = 194,3 cm³ und 22,4 kg/m. Stahl: E = 210 000 MPa, fy = 235 MPa.
- Eigengewicht:
g = 22,4 · 9,81 / 1000 = 0,220 kN/m. Zusammenq = 10 + 0,220 = 10,22 kN/m. - Moment:
M = q·L² / 8 = 10,22 · 4² / 8 = 20,44 kN·m. - Spannung:
σ = M / W = 20,44·10⁶ / (194,3·10³) = 105 MPa, also 45 % von 235 MPa. - Durchbiegung:
δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) = 5 · 10,22 · 4000⁴ / (384 · 210 000 · 1943·10⁴) = 8,35 mm. - Verhältnis:
L / δ = 4000 / 8,35 = 479. L/250 erlaubt 16,0 mm, L/300 13,3 mm: Der Träger hält beide ein.
IPE-Träger über 5 m: Durchbiegung und Spannung
Einfeldträger, 10 kN/m plus Eigengewicht, S235. Gerechnet mit derselben Funktion wie der Rechner.
| Profil | Gewicht, kg/m | Iy, cm⁴ | Durchbiegung, mm | L / δ | σ, MPa | L/250 | L/300 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| IPE 160 | 15,8 | 869 | 45,3 | L/110 | 292 | ✗ | ✗ |
| IPE 180 | 18,8 | 1316 | 30,0 | L/166 | 218 | ✗ | ✗ |
| IPE 200 | 22,4 | 1943 | 20,4 | L/245 | 164 | ✗ | ✗ |
| IPE 220 | 26,2 | 2771 | 14,3 | L/348 | 127 | ✓ | ✓ |
| IPE 240 | 30,7 | 3891 | 10,3 | L/487 | 99 | ✓ | ✓ |
| IPE 270 | 36,1 | 5789 | 6,9 | L/721 | 75 | ✓ | ✓ |
Bei dieser Stützweite kommt IPE 200 auf L/245 — knapp unter L/250, obwohl die Spannung von 164 MPa weit von der Streckgrenze entfernt ist. Bei Trägern über ein paar Meter entscheidet meist die Durchbiegung, nicht die Festigkeit.
Werkstoffe im Rechner
Die Streckgrenze dient hier nur als Vergleichsmaß für die elastische Spannung. Die Festigkeitswerte sind dieselben wie in der Tabelle Festigkeitswerte S235–S355.
| Werkstoff | E, MPa | fy (Rp0,2, f0), MPa | An der Naht f0,haz, MPa | Quelle |
|---|---|---|---|---|
| S235 | 210 000 | 235 | — | EN 10025-2, Dicke bis 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| S275 | 210 000 | 275 | — | EN 10025-2, Dicke bis 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| S355 | 210 000 | 355 | — | EN 10025-2, Dicke bis 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| 1.4301 (304) | 200 000 | 230 | — | EN 10088-2, kaltgewalztes Blech; E — EN 1993-1-4 |
| 1.4404 (316L) | 200 000 | 240 | — | EN 10088-2, kaltgewalztes Blech; E — EN 1993-1-4 |
| EN AW-6060 T6 | 70 000 | 140 | 60 | EN 1999-1-1, Tabelle 3.2b, Strangpressprofile (6082: Wand bis 5 mm) |
| EN AW-6082 T6 | 70 000 | 250 | 125 | EN 1999-1-1, Tabelle 3.2b, Strangpressprofile (6082: Wand bis 5 mm) |
Welche Durchbiegung zulässig ist
EN 1993-1-1 (Abschnitt 7.2) nennt keine Zahlen: Grenzwerte legt der Nationale Anhang fest oder sie werden mit dem Bauherrn vereinbart. Als Richtwerte für Träger nimmt man meist L/250 und L/300 — bei 5 m Stützweite also 20 mm und 16,7 mm. Die Anhänge unterscheiden sich: der dänische (DS/EN 1993-1-1 DK NA) nennt l/400 für Decken und l/200 für Dächer aus einer veränderlichen Einwirkung und setzt beim Kragarm l gleich der doppelten Auskragung. Unter Trennwänden, spröden Bekleidungen und Kranbahnen sind die Grenzen strenger. Der Rechner vergleicht mit L/250 oder L/300 als üblichen Werten und führt keinen Normnachweis.
Bei Tabellenprofilen nennt der Rechner zusätzlich das leichteste Profil derselben Reihe, das die gewählte Grenze und σ ≤ fy einhält. Das ist ein Ausgangspunkt fürs Gespräch mit dem Statiker, keine Bemessung.
Woher die Werte kommen
Gewichte, Abmessungen und Querschnittswerte stammen aus denselben Tabellen wie im Träger-Gewichtsrechner und im U-Profil-Gewichtsrechner. Rohre und Hohlprofile werden aus den Abmessungen gerechnet, wie im Rohr- und Hohlprofil-Rechner und im Aluminium-Vierkantrohr-Rechner; bei einem Systemprofil mit Nuten trägst du Iy und Wy aus dem Herstellerdatenblatt ein. Alle Werte zu einer Größe, zum Beispiel IPE 200.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Durchbiegung eines Trägers?
Beim Einfeldträger unter Streckenlast gilt δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I). Ein IPE 200 aus Stahl mit 4 m Stützweite und 10 kN/m (10,22 kN/m mit Eigengewicht) biegt sich um 8,35 mm durch, also L/479. Unter einer Einzellast in Feldmitte ist es δ = P·L³ / (48·E·I); Kragarm und eingespannter Träger haben eigene Beiwerte (Formeltabelle oben).
Welcher IPE-Träger für 5 m Stützweite?
Bei 10 kN/m auf einem Einfeldträger aus S235 ist für L/250 IPE 220 das leichteste Profil (Durchbiegung 14,3 mm, L/348, σ = 127 MPa), für L/300 IPE 220 (L/348). IPE 200 kommt auf L/245 und scheitert an der Durchbiegung. Für eine andere Last gib sie im Rechner ein; ein tragendes Bauteil bemisst der Statiker, denn Biegedrillknicken und Auflagerung kommen dazu.
Um wie viel biegt sich ein Aluprofil mehr durch als Stahl?
Bei gleichem Querschnitt fast dreimal so weit: E ist bei Aluminium 70 000 MPa, bei Stahl 210 000 MPa. Ein Rechteckrohr 60×40×3 als Kragarm von 1 m mit 0,2 kN am Ende: Stahl 1,25 mm, Aluminium 6082-T6 3,58 mm, also 2,9-mal so viel (nicht genau 3, weil sich das leichtere Profil weniger selbst belastet). Dazu verliert 6082-T6 an der Naht die Hälfte seiner Festigkeit: 250 MPa → 125 MPa.
Ersetzt der Rechner die Statik?
Nein. Er rechnet elastische Durchbiegung und Spannung für drei einfache Fälle. Stabilität, Querkraft, Anschlüsse und Nähte prüft er nicht, Lastkombinationen und Teilsicherheitsbeiwerte nach EN 1990 wendet er nicht an. Tragende Bauteile werden nach EN 1993 (Stahl) oder EN 1999 (Aluminium) bemessen.
Welche Durchbiegung ist bei einem Träger zulässig?
Das legt der Nationale Anhang zu EN 1993-1-1 fest oder es wird mit dem Bauherrn vereinbart; übliche Werte für Träger sind L/250 und L/300. Ein Träger mit 5 m Stützweite darf sich also um 20 mm oder 16,7 mm durchbiegen. Unter spröden Bekleidungen und Trennwänden gelten strengere Grenzen.
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