Прогиб и напряжение балки: двутавр, швеллер, труба, полоса
Двутавр IPE 200 из стали S235 как однопролётная балка на шарнирах пролётом 4 м под нагрузкой 10 кН/м прогибается на 8,35 мм (L/479), а напряжение от изгиба составляет 105 МПа, то есть 45 % предела текучести. Калькулятор считает то же для профилей IPE, HEA, HEB и UPN из таблиц сайта, для профильной и круглой трубы, полосы и круга из стали, нержавейки и алюминия — для трёх схем опирания.
Короткий ответ
Прогиб шарнирной балки под равномерной нагрузкой — δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I), под силой в середине — δ = P·L³ / (48·E·I). Напряжение в крайних волокнах — σ = M / W. Прогиб определяет жёсткость E·I: алюминий (E = 70 000 МПа) при том же сечении прогибается почти втрое сильнее стали. Напряжение определяет момент сопротивления W, а материал меняет лишь то, с чем его сравнивать. Обе величины быстро растут с пролётом: вдвое более длинная балка под той же нагрузкой на метр прогибается в 16 раз сильнее.
Результат — упругая оценка прогиба и напряжения простой балки от нормативных нагрузок. Он не заменяет расчёт конструкции по EN 1993 (сталь) или EN 1999 (алюминий) и не является проверкой несущей способности. За рамками расчёта остаются:
- потеря устойчивости плоской формы изгиба, общая устойчивость, местная устойчивость стенок;
- срез, смятие и стенка под сосредоточенной силой;
- соединения, сварные швы и разупрочнение — у алюминия зона термического влияния снижает прочность вплоть до половины;
- сочетания нагрузок и частные коэффициенты по EN 1990 (рекомендованы 1,35 для постоянных и 1,5 для временных);
- усталость, колебания, прогиб от длительных нагрузок и реальные опоры, которые не бывают ни идеальным шарниром, ни полным защемлением.
Несущие элементы — перекрытия, антресоли, площадки, навесы, балки под тельфер — подбирает и проверяет конструктор.
Формулы для трёх схем
L — пролёт (у консоли вылет), P — сосредоточенная сила в середине пролёта (у консоли на конце), q — равномерная нагрузка на метр вместе с собственным весом. При обеих нагрузках сразу результаты складываются: в этих схемах наибольший момент и наибольший прогиб обоих случаев приходятся на одно место.
| Схема и нагрузка | Наибольший момент | Наибольший прогиб | Опорная реакция |
|---|---|---|---|
| Шарнирная, сила P в середине | P·L / 4 | P·L³ / (48·E·I) | P / 2 |
| Шарнирная, нагрузка q | q·L² / 8 | 5·q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
| Консоль, сила P на конце | P·L | P·L³ / (3·E·I) | P |
| Консоль, нагрузка q | q·L² / 2 | q·L⁴ / (8·E·I) | q·L |
| Защемлена с двух концов, сила P в середине | P·L / 8 | P·L³ / (192·E·I) | P / 2 |
| Защемлена с двух концов, нагрузка q | q·L² / 12 | q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
Единицы согласованные: Н, мм, МПа (Н/мм²). Тогда I подставляют в мм⁴ (1 см⁴ = 10 000 мм⁴), W в мм³, а нагрузка 1 кН/м — это ровно 1 Н/мм.
Пример: IPE 200, пролёт 4 м, 10 кН/м
Те же данные, что в калькуляторе по умолчанию: сталь S235, шарнирная балка, собственный вес учтён.
- Из таблицы: у IPE 200 Iy = 1943 см⁴, Wel,y = 194,3 см³, масса 22,4 кг/м. Сталь: E = 210 000 МПа, fy = 235 МПа.
- Собственный вес:
g = 22,4 · 9,81 / 1000 = 0,220 кН/м. Всегоq = 10 + 0,220 = 10,22 кН/м. - Момент:
M = q·L² / 8 = 10,22 · 4² / 8 = 20,44 кН·м. - Напряжение:
σ = M / W = 20,44·10⁶ / (194,3·10³) = 105 МПа, то есть 45 % от 235 МПа. - Прогиб:
δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) = 5 · 10,22 · 4000⁴ / (384 · 210 000 · 1943·10⁴) = 8,35 мм. - Отношение:
L / δ = 4000 / 8,35 = 479. Предел L/250 — это 16,0 мм, L/300 — 13,3 мм: балка проходит оба.
Двутавры IPE на пролёт 5 м: прогиб и напряжение
Шарнирная балка, нагрузка 10 кН/м плюс собственный вес, сталь S235. Посчитано той же функцией, что и калькулятор.
| Профиль | Масса, кг/м | Iy, см⁴ | Прогиб, мм | L / δ | σ, МПа | L/250 | L/300 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| IPE 160 | 15,8 | 869 | 45,3 | L/110 | 292 | ✗ | ✗ |
| IPE 180 | 18,8 | 1316 | 30,0 | L/166 | 218 | ✗ | ✗ |
| IPE 200 | 22,4 | 1943 | 20,4 | L/245 | 164 | ✗ | ✗ |
| IPE 220 | 26,2 | 2771 | 14,3 | L/348 | 127 | ✓ | ✓ |
| IPE 240 | 30,7 | 3891 | 10,3 | L/487 | 99 | ✓ | ✓ |
| IPE 270 | 36,1 | 5789 | 6,9 | L/721 | 75 | ✓ | ✓ |
IPE 200 на этом пролёте даёт L/245 — чуть меньше, чем нужно для L/250, хотя напряжение 164 МПа далеко от предела. У балок пролётом в несколько метров обычно решает прогиб, а не прочность.
Материалы в калькуляторе
Предел текучести здесь нужен только для сравнения с упругим напряжением. Значения прочности те же, что в таблице свойств сталей S235–S355.
| Материал | E, МПа | fy (Rp0,2, f0), МПа | У шва f0,haz, МПа | Источник |
|---|---|---|---|---|
| S235 | 210 000 | 235 | — | EN 10025-2, толщина до 16 мм; E — EN 1993-1-1 |
| S275 | 210 000 | 275 | — | EN 10025-2, толщина до 16 мм; E — EN 1993-1-1 |
| S355 | 210 000 | 355 | — | EN 10025-2, толщина до 16 мм; E — EN 1993-1-1 |
| 1.4301 (304) | 200 000 | 230 | — | EN 10088-2, холоднокатаный лист; E — EN 1993-1-4 |
| 1.4404 (316L) | 200 000 | 240 | — | EN 10088-2, холоднокатаный лист; E — EN 1993-1-4 |
| EN AW-6060 T6 | 70 000 | 140 | 60 | EN 1999-1-1, табл. 3.2b, прессованные профили (6082: стенка до 5 мм) |
| EN AW-6082 T6 | 70 000 | 250 | 125 | EN 1999-1-1, табл. 3.2b, прессованные профили (6082: стенка до 5 мм) |
Какой прогиб допустим
EN 1993-1-1 (п. 7.2) чисел не даёт: пределы прогибов задаёт национальное приложение или договор с заказчиком. Как ориентир для балок обычно берут L/250 и L/300 — для балки 5 м это 20 мм и 16,7 мм. Приложения различаются: датское (DS/EN 1993-1-1 DK NA) даёт для перекрытий l/400, для покрытий l/200 от одного переменного воздействия, а у консоли за l принимает удвоенный вылет. Под перегородки, хрупкую облицовку и краны приложения ставят пределы строже. Калькулятор сравнивает результат с L/250 или L/300 как с типичными значениями и не выполняет проверку по норме. В СП 20.13330 и ДБН пределы свои.
Для профилей из таблиц калькулятор подсказывает самый лёгкий профиль той же серии, который проходит выбранный предел и условие σ ≤ fy. Это отправная точка для разговора с конструктором, а не подбор элемента.
Откуда данные и что дальше
Массы, размеры и характеристики профилей — те же таблицы, по которым считают калькулятор массы двутавра и калькулятор массы швеллера. Трубы и профильные трубы считаются по размерам, как в калькуляторе труб и профильных труб и калькуляторе алюминиевой профильной трубы; для системного профиля с пазами введите Iy и Wy из каталога производителя.
Частые вопросы
Как рассчитать прогиб балки?
Для шарнирной балки под равномерной нагрузкой δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I). IPE 200 из стали пролётом 4 м под 10 кН/м (с собственным весом 10,22 кН/м) прогибается на 8,35 мм, то есть L/479. Под сосредоточенной силой в середине формула δ = P·L³ / (48·E·I); у консоли и защемлённой балки свои коэффициенты (таблица формул выше).
Какой двутавр нужен на пролёт 5 м?
При нагрузке 10 кН/м и шарнирной балке из стали S235: для предела L/250 самый лёгкий — IPE 220 (прогиб 14,3 мм, L/348, σ = 127 МПа), для L/300 — IPE 220 (L/348). IPE 200 даёт L/245 и не проходит по прогибу. Для другой нагрузки введите её в калькулятор; профиль под несущий элемент подбирает конструктор — добавляются устойчивость и опирание балки.
Насколько сильнее прогнётся алюминиевый профиль, чем стальной?
При том же сечении почти втрое: E алюминия 70 000 МПа, стали 210 000 МПа. Труба 60×40×3 консолью 1 м с силой 0,2 кН на конце: сталь 1,25 мм, алюминий 6082-T6 3,58 мм, то есть в 2,9 раза больше (не ровно в 3, потому что лёгкий профиль меньше нагружает себя сам). Вдобавок у шва 6082-T6 теряет половину прочности: 250 МПа → 125 МПа.
Заменяет ли калькулятор расчёт конструкции?
Нет. Он считает упругий прогиб и напряжение для трёх простых схем. Устойчивость, срез, соединения и швы он не проверяет, сочетаний нагрузок и частных коэффициентов EN 1990 не применяет. Несущие элементы рассчитывают по EN 1993 (сталь) или EN 1999 (алюминий) либо по местным нормам.
Какой прогиб балки допустим?
Его задаёт национальное приложение к EN 1993-1-1 (у нас — СП или ДБН) или договор с заказчиком; типичные значения для балок — L/250 и L/300. Балка пролётом 5 м может прогнуться на 20 мм или 16,7 мм. Под хрупкую облицовку и перегородки пределы строже.
Обновлено: