Ugięcie i naprężenie belki: dwuteownik, ceownik, rura, płaskownik
Dwuteownik IPE 200 ze stali S235 jako belka swobodnie podparta o rozpiętości 4 m pod obciążeniem 10 kN/m ugina się o 8,35 mm (L/479), a naprężenie od zginania wynosi 105 MPa, czyli 45 % granicy plastyczności. Kalkulator liczy to samo dla profili IPE, HEA, HEB i UPN z tablic serwisu, dla rury prostokątnej i okrągłej, płaskownika i pręta, ze stali, nierdzewki i aluminium — w trzech schematach podparcia.
Krótka odpowiedź
Ugięcie belki swobodnie podpartej pod obciążeniem równomiernym to δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I), pod siłą w środku — δ = P·L³ / (48·E·I). Naprężenie w skrajnych włóknach to σ = M / W. O ugięciu decyduje sztywność E·I: aluminium (E = 70 000 MPa) przy tym samym przekroju ugina się prawie trzy razy bardziej niż stal. O naprężeniu decyduje wskaźnik W, a materiał zmienia tylko to, z czym je porównać. Obie wielkości rosną szybko z rozpiętością: dwa razy dłuższa belka pod tym samym obciążeniem na metr ugina się 16 razy bardziej.
Wynik to sprężysty szacunek ugięcia i naprężenia dla prostej belki, liczony od obciążeń charakterystycznych. Nie zastępuje projektu konstrukcji według EN 1993 (stal) ani EN 1999 (aluminium) i nie jest sprawdzeniem nośności. Poza rachunkiem zostają:
- zwichrzenie (utrata stateczności giętno-skrętnej), wyboczenie, miejscowa stateczność ścianek;
- ścinanie, docisk i środnik pod siłą skupioną;
- połączenia, spoiny i ich osłabienie — w aluminium strefa wpływu ciepła obniża wytrzymałość nawet o połowę;
- kombinacje obciążeń i współczynniki częściowe według EN 1990 (zalecane 1,35 dla stałych i 1,5 dla zmiennych);
- zmęczenie, drgania, ugięcie od obciążeń długotrwałych i warunki podparcia, które w rzeczywistości nie są ani idealnym przegubem, ani pełnym utwierdzeniem.
Elementy nośne — stropy, antresole, podesty, zadaszenia, belki pod wciągnik — dobiera i sprawdza konstruktor.
Wzory dla trzech schematów
L — rozpiętość (we wsporniku wysięg), P — siła skupiona w środku rozpiętości (we wsporniku na końcu), q — obciążenie równomierne na metr, razem z ciężarem własnym. Przy obu obciążeniach naraz wyniki się sumują: w tych schematach największy moment i największe ugięcie obu przypadków wypadają w tym samym miejscu.
| Schemat i obciążenie | Moment maksymalny | Ugięcie maksymalne | Reakcja podpory |
|---|---|---|---|
| Swobodnie podparta, siła P w środku | P·L / 4 | P·L³ / (48·E·I) | P / 2 |
| Swobodnie podparta, obciążenie q | q·L² / 8 | 5·q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
| Wspornik, siła P na końcu | P·L | P·L³ / (3·E·I) | P |
| Wspornik, obciążenie q | q·L² / 2 | q·L⁴ / (8·E·I) | q·L |
| Utwierdzona na obu końcach, siła P w środku | P·L / 8 | P·L³ / (192·E·I) | P / 2 |
| Utwierdzona na obu końcach, obciążenie q | q·L² / 12 | q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
Jednostki spójne: N, mm, MPa (N/mm²). Wtedy I wpisuje się w mm⁴ (1 cm⁴ = 10 000 mm⁴), W w mm³, a obciążenie 1 kN/m to dokładnie 1 N/mm.
Przykład: IPE 200, rozpiętość 4 m, 10 kN/m
Te same dane, co domyślnie w kalkulatorze: stal S235, belka swobodnie podparta, ciężar własny doliczony.
- Dane z tablicy: IPE 200 ma Iy = 1943 cm⁴, Wel,y = 194,3 cm³ i masę 22,4 kg/m. Stal: E = 210 000 MPa, fy = 235 MPa.
- Ciężar własny:
g = 22,4 · 9,81 / 1000 = 0,220 kN/m. Razemq = 10 + 0,220 = 10,22 kN/m. - Moment:
M = q·L² / 8 = 10,22 · 4² / 8 = 20,44 kN·m. - Naprężenie:
σ = M / W = 20,44·10⁶ / (194,3·10³) = 105 MPa, czyli 45 % z 235 MPa. - Ugięcie:
δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) = 5 · 10,22 · 4000⁴ / (384 · 210 000 · 1943·10⁴) = 8,35 mm. - Stosunek:
L / δ = 4000 / 8,35 = 479. Granica L/250 to 16,0 mm, L/300 — 13,3 mm: belka spełnia obie.
Dwuteowniki IPE na rozpiętość 5 m: ugięcie i naprężenie
Belka swobodnie podparta, obciążenie 10 kN/m plus ciężar własny, stal S235. Liczone tą samą funkcją co kalkulator.
| Profil | Masa, kg/m | Iy, cm⁴ | Ugięcie, mm | L / δ | σ, MPa | L/250 | L/300 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| IPE 160 | 15,8 | 869 | 45,3 | L/110 | 292 | ✗ | ✗ |
| IPE 180 | 18,8 | 1316 | 30,0 | L/166 | 218 | ✗ | ✗ |
| IPE 200 | 22,4 | 1943 | 20,4 | L/245 | 164 | ✗ | ✗ |
| IPE 220 | 26,2 | 2771 | 14,3 | L/348 | 127 | ✓ | ✓ |
| IPE 240 | 30,7 | 3891 | 10,3 | L/487 | 99 | ✓ | ✓ |
| IPE 270 | 36,1 | 5789 | 6,9 | L/721 | 75 | ✓ | ✓ |
IPE 200 przy tej rozpiętości daje L/245 — minimalnie za mało na L/250, choć naprężenie 164 MPa jest daleko od granicy. Przy belkach o rozpiętości kilku metrów zwykle decyduje ugięcie, nie wytrzymałość.
Materiały w kalkulatorze
Granica plastyczności służy tu tylko do porównania z naprężeniem sprężystym. Wartości wytrzymałości są te same co w tabeli własności stali S235–S355.
| Materiał | E, MPa | fy (Rp0,2, f0), MPa | Przy spoinie f0,haz, MPa | Źródło |
|---|---|---|---|---|
| S235 | 210 000 | 235 | — | EN 10025-2, grubość do 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| S275 | 210 000 | 275 | — | EN 10025-2, grubość do 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| S355 | 210 000 | 355 | — | EN 10025-2, grubość do 16 mm; E — EN 1993-1-1 |
| 1.4301 (304) | 200 000 | 230 | — | EN 10088-2, blacha walcowana na zimno; E — EN 1993-1-4 |
| 1.4404 (316L) | 200 000 | 240 | — | EN 10088-2, blacha walcowana na zimno; E — EN 1993-1-4 |
| EN AW-6060 T6 | 70 000 | 140 | 60 | EN 1999-1-1, tabl. 3.2b, profile wyciskane (6082: ścianka do 5 mm) |
| EN AW-6082 T6 | 70 000 | 250 | 125 | EN 1999-1-1, tabl. 3.2b, profile wyciskane (6082: ścianka do 5 mm) |
Jakie ugięcie jest dopuszczalne
EN 1993-1-1 (punkt 7.2) nie podaje liczb: granice ugięć ustala załącznik krajowy albo umowa z inwestorem. Jako wartości odniesienia dla belek przyjmuje się zwykle L/250 i L/300 — dla belki 5 m to 20 mm i 16,7 mm. Załączniki się różnią: duński (DS/EN 1993-1-1 DK NA) daje dla stropów l/400, dla dachów l/200 od jednego oddziaływania zmiennego, a dla wspornika przyjmuje l równe podwojonemu wysięgowi. Pod ścianki działowe, okładziny kruche i suwnice załączniki stawiają granice ostrzejsze. Kalkulator porównuje wynik z L/250 albo L/300 jako z typowymi wartościami, nie przeprowadza sprawdzenia według normy.
Przy profilach z tablic kalkulator podpowiada najlżejszy profil tej samej serii, który spełnia wybraną granicę i warunek σ ≤ fy. To punkt wyjścia do rozmowy z konstruktorem, nie dobór elementu.
Skąd dane i co dalej
Masy, wymiary i charakterystyki profili to te same tablice, z których liczą kalkulator masy dwuteownika i kalkulator masy ceownika. Rury i profile zamknięte liczone są z wymiarów jak w kalkulatorze profili zamkniętych i kalkulatorze profilu aluminiowego; dla profilu systemowego z rowkami wpisz Iy i Wy z karty producenta.
Częste pytania
Jak obliczyć ugięcie belki?
Dla belki swobodnie podpartej pod obciążeniem równomiernym δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I). IPE 200 ze stali o rozpiętości 4 m pod 10 kN/m (z ciężarem własnym 10,22 kN/m) ugina się o 8,35 mm, czyli L/479. Pod siłą skupioną w środku wzór to δ = P·L³ / (48·E·I); wspornik i belka utwierdzona mają własne współczynniki (tabela wzorów wyżej).
Jaki dwuteownik IPE na rozpiętość 5 m?
Przy obciążeniu 10 kN/m i belce swobodnie podpartej ze stali S235: dla granicy L/250 najlżejszy jest IPE 220 (ugięcie 14,3 mm, L/348, σ = 127 MPa), dla L/300 — IPE 220 (L/348). IPE 200 daje L/245 i odpada przez ugięcie. Przy innym obciążeniu wpisz je w kalkulator; profil pod element nośny dobiera konstruktor, bo dochodzi zwichrzenie i oparcie belki.
O ile bardziej ugnie się profil aluminiowy niż stalowy?
Przy tym samym przekroju prawie trzy razy: E aluminium to 70 000 MPa, stali 210 000 MPa. Rura 60×40×3 jako wspornik 1 m z siłą 0,2 kN na końcu: stal 1,25 mm, aluminium 6082-T6 3,58 mm, czyli 2,9 raza więcej (nie równo 3, bo lżejszy profil mniej obciąża się sam). Do tego przy spoinie 6082-T6 traci połowę wytrzymałości: 250 MPa → 125 MPa.
Czy ten kalkulator zastępuje obliczenia konstrukcji?
Nie. Liczy sprężyste ugięcie i naprężenie dla trzech prostych schematów. Nie sprawdza zwichrzenia, wyboczenia, ścinania, połączeń ani spoin, nie stosuje kombinacji obciążeń i współczynników częściowych z EN 1990. Elementy nośne projektuje się według EN 1993 (stal) albo EN 1999 (aluminium).
Jaka jest dopuszczalna strzałka ugięcia belki?
Ustala ją załącznik krajowy do EN 1993-1-1 albo umowa z inwestorem; typowe wartości dla belek to L/250 i L/300. Belka o rozpiętości 5 m może się więc ugiąć o 20 mm albo 16,7 mm. Pod kruche okładziny i ścianki działowe granice są ostrzejsze.
Aktualizacja: