Прогин і напруження балки: двотавр, швелер, труба, смуга
Двотавр IPE 200 зі сталі S235 як однопрольотна балка на шарнірах прольотом 4 м під навантаженням 10 кН/м прогинається на 8,35 мм (L/479), а напруження від згину становить 105 МПа, тобто 45 % межі текучості. Калькулятор рахує те саме для профілів IPE, HEA, HEB і UPN з таблиць сайту, для профільної й круглої труби, смуги та круга зі сталі, нержавійки й алюмінію — для трьох схем опирання.
Коротка відповідь
Прогин шарнірної балки під рівномірним навантаженням — δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I), під силою посередині — δ = P·L³ / (48·E·I). Напруження в крайніх волокнах — σ = M / W. Прогин визначає жорсткість E·I: алюміній (E = 70 000 МПа) за того самого перерізу прогинається майже втричі сильніше за сталь. Напруження визначає момент опору W, а матеріал змінює лише те, з чим його порівнювати. Обидві величини швидко ростуть із прольотом: удвічі довша балка під тим самим навантаженням на метр прогинається в 16 разів сильніше.
Результат — пружна оцінка прогину й напруження простої балки від характеристичних навантажень. Він не замінює розрахунок конструкції за EN 1993 (сталь) чи EN 1999 (алюміній) і не є перевіркою несучої здатності. Поза розрахунком лишаються:
- втрата стійкості плоскої форми згину, загальна стійкість, місцева стійкість стінок;
- зріз, зминання і стінка під зосередженою силою;
- з’єднання, зварні шви та знеміцнення — в алюмінію зона термічного впливу знижує міцність аж до половини;
- поєднання навантажень і часткові коефіцієнти за EN 1990 (рекомендовано 1,35 для постійних і 1,5 для змінних);
- втома, коливання, прогин від тривалих навантажень і реальні опори, що не бувають ні ідеальним шарніром, ні повним защемленням.
Несучі елементи — перекриття, антресолі, майданчики, навіси, балки під тельфер — добирає й перевіряє конструктор.
Формули для трьох схем
L — проліт (у консолі виліт), P — зосереджена сила посередині прольоту (у консолі на кінці), q — рівномірне навантаження на метр разом із власною вагою. За обох навантажень одразу результати додаються: у цих схемах найбільший момент і найбільший прогин обох випадків припадають на одне місце.
| Схема й навантаження | Найбільший момент | Найбільший прогин | Опорна реакція |
|---|---|---|---|
| Шарнірна, сила P посередині | P·L / 4 | P·L³ / (48·E·I) | P / 2 |
| Шарнірна, навантаження q | q·L² / 8 | 5·q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
| Консоль, сила P на кінці | P·L | P·L³ / (3·E·I) | P |
| Консоль, навантаження q | q·L² / 2 | q·L⁴ / (8·E·I) | q·L |
| Защемлена з двох кінців, сила P посередині | P·L / 8 | P·L³ / (192·E·I) | P / 2 |
| Защемлена з двох кінців, навантаження q | q·L² / 12 | q·L⁴ / (384·E·I) | q·L / 2 |
Одиниці узгоджені: Н, мм, МПа (Н/мм²). Тоді I підставляють у мм⁴ (1 см⁴ = 10 000 мм⁴), W у мм³, а навантаження 1 кН/м — це рівно 1 Н/мм.
Приклад: IPE 200, проліт 4 м, 10 кН/м
Ті самі дані, що в калькуляторі за замовчуванням: сталь S235, шарнірна балка, власну вагу враховано.
- З таблиці: у IPE 200 Iy = 1943 см⁴, Wel,y = 194,3 см³, маса 22,4 кг/м. Сталь: E = 210 000 МПа, fy = 235 МПа.
- Власна вага:
g = 22,4 · 9,81 / 1000 = 0,220 кН/м. Разомq = 10 + 0,220 = 10,22 кН/м. - Момент:
M = q·L² / 8 = 10,22 · 4² / 8 = 20,44 кН·м. - Напруження:
σ = M / W = 20,44·10⁶ / (194,3·10³) = 105 МПа, тобто 45 % від 235 МПа. - Прогин:
δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I) = 5 · 10,22 · 4000⁴ / (384 · 210 000 · 1943·10⁴) = 8,35 мм. - Відношення:
L / δ = 4000 / 8,35 = 479. Межа L/250 — це 16,0 мм, L/300 — 13,3 мм: балка проходить обидві.
Двотаври IPE на проліт 5 м: прогин і напруження
Шарнірна балка, навантаження 10 кН/м плюс власна вага, сталь S235. Пораховано тією самою функцією, що й калькулятор.
| Профіль | Маса, кг/м | Iy, см⁴ | Прогин, мм | L / δ | σ, МПа | L/250 | L/300 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| IPE 160 | 15,8 | 869 | 45,3 | L/110 | 292 | ✗ | ✗ |
| IPE 180 | 18,8 | 1316 | 30,0 | L/166 | 218 | ✗ | ✗ |
| IPE 200 | 22,4 | 1943 | 20,4 | L/245 | 164 | ✗ | ✗ |
| IPE 220 | 26,2 | 2771 | 14,3 | L/348 | 127 | ✓ | ✓ |
| IPE 240 | 30,7 | 3891 | 10,3 | L/487 | 99 | ✓ | ✓ |
| IPE 270 | 36,1 | 5789 | 6,9 | L/721 | 75 | ✓ | ✓ |
IPE 200 на цьому прольоті дає L/245 — трохи менше, ніж треба для L/250, хоча напруження 164 МПа далеко від межі. У балок прольотом кілька метрів зазвичай вирішує прогин, а не міцність.
Матеріали в калькуляторі
Межа текучості тут потрібна лише для порівняння з пружним напруженням. Значення міцності ті самі, що в таблиці властивостей сталей S235–S355.
| Матеріал | E, МПа | fy (Rp0,2, f0), МПа | Біля шва f0,haz, МПа | Джерело |
|---|---|---|---|---|
| S235 | 210 000 | 235 | — | EN 10025-2, товщина до 16 мм; E — EN 1993-1-1 |
| S275 | 210 000 | 275 | — | EN 10025-2, товщина до 16 мм; E — EN 1993-1-1 |
| S355 | 210 000 | 355 | — | EN 10025-2, товщина до 16 мм; E — EN 1993-1-1 |
| 1.4301 (304) | 200 000 | 230 | — | EN 10088-2, холоднокатаний лист; E — EN 1993-1-4 |
| 1.4404 (316L) | 200 000 | 240 | — | EN 10088-2, холоднокатаний лист; E — EN 1993-1-4 |
| EN AW-6060 T6 | 70 000 | 140 | 60 | EN 1999-1-1, табл. 3.2b, пресовані профілі (6082: стінка до 5 мм) |
| EN AW-6082 T6 | 70 000 | 250 | 125 | EN 1999-1-1, табл. 3.2b, пресовані профілі (6082: стінка до 5 мм) |
Який прогин допустимий
EN 1993-1-1 (п. 7.2) чисел не дає: межі прогинів задає національний додаток або договір із замовником. Як орієнтир для балок зазвичай беруть L/250 і L/300 — для балки 5 м це 20 мм і 16,7 мм. Додатки різняться: данський (DS/EN 1993-1-1 DK NA) дає для перекриттів l/400, для покрівель l/200 від однієї змінної дії, а для консолі за l бере подвоєний виліт. Під перегородки, крихке облицювання й крани додатки ставлять межі суворіші. Калькулятор порівнює результат з L/250 або L/300 як із типовими значеннями й не виконує перевірки за нормою. У ДБН межі свої.
Для профілів із таблиць калькулятор підказує найлегший профіль тієї самої серії, що проходить вибрану межу й умову σ ≤ fy. Це відправна точка для розмови з конструктором, а не добір елемента.
Звідки дані й що далі
Маси, розміри й характеристики профілів — ті самі таблиці, за якими рахують калькулятор маси двотавра і калькулятор маси швелера. Труби й профільні труби рахуються за розмірами, як у калькуляторі труб і профільних труб та калькуляторі алюмінієвої профільної труби; для системного профілю з пазами введіть Iy і Wy з каталогу виробника.
Часті питання
Як розрахувати прогин балки?
Для шарнірної балки під рівномірним навантаженням δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I). IPE 200 зі сталі прольотом 4 м під 10 кН/м (із власною вагою 10,22 кН/м) прогинається на 8,35 мм, тобто L/479. Під зосередженою силою посередині формула δ = P·L³ / (48·E·I); у консолі й защемленої балки свої коефіцієнти (таблиця формул вище).
Який двотавр потрібен на проліт 5 м?
За навантаження 10 кН/м і шарнірної балки зі сталі S235: для межі L/250 найлегший — IPE 220 (прогин 14,3 мм, L/348, σ = 127 МПа), для L/300 — IPE 220 (L/348). IPE 200 дає L/245 і не проходить за прогином. Для іншого навантаження введіть його в калькулятор; профіль під несучий елемент добирає конструктор — додаються стійкість і опирання балки.
Наскільки сильніше прогнеться алюмінієвий профіль, ніж сталевий?
За того самого перерізу майже втричі: E алюмінію 70 000 МПа, сталі 210 000 МПа. Труба 60×40×3 консоллю 1 м із силою 0,2 кН на кінці: сталь 1,25 мм, алюміній 6082-T6 3,58 мм, тобто в 2,9 раза більше (не рівно втричі, бо легкий профіль менше навантажує себе сам). До того ж біля шва 6082-T6 втрачає половину міцності: 250 МПа → 125 МПа.
Чи замінює калькулятор розрахунок конструкції?
Ні. Він рахує пружний прогин і напруження для трьох простих схем. Стійкість, зріз, з’єднання й шви він не перевіряє, поєднань навантажень і часткових коефіцієнтів EN 1990 не застосовує. Несучі елементи розраховують за EN 1993 (сталь) чи EN 1999 (алюміній) або за ДБН.
Який прогин балки допустимий?
Його задає національний додаток до EN 1993-1-1 або ДБН чи договір із замовником; типові значення для балок — L/250 і L/300. Балка прольотом 5 м може прогнутися на 20 мм або 16,7 мм. Під крихке облицювання й перегородки межі суворіші.
Оновлено: